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【洛谷-图论】P1807 最长路
题目描述设 $G$ 为有 $n$ 个顶点的带权有向无环图,$G$ 中各顶点的编号为 $1$ 到 $n$,请设计算法...
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2020/11

【洛谷-图论】P1807 最长路

题目描述

设 $G$ 为有 $n$ 个顶点的带权有向无环图,$G$ 中各顶点的编号为 $1$ 到 $n$,请设计算法,计算图 $G$ 中 $\lt1,n\gt$ 间的最 长路径。

输入输出格式

输入格式

输入的第一行有两个整数,分别代表图的点数 $n$ 和边数 $m$。
第 $2$ 到第 $(m + 1)$ 行,每行 $3$ 个整数 $u, v, w$,代表存在一条从 $u$ 到 $v$ 边权为 $w$ 的边。

输出格式

输出一行一个整数,代表 $1$ 到 $n$ 的最长路。
若 $1$ 与 $n$ 不联通,请输出 $-1$。

输入输出样例

输入样例 #1

2 1
1 2 1

输出样例 #1

1

说明

数据规模与约定

  • 对于 $20\%$的数据,$n \leq 100$,$m \leq 10^3$。
  • 对于 $40\%$ 的数据,$n \leq 10^3$,$m \leq 10^{4}$。
  • 对于 $100\%$ 的数据,$1 \leq n \leq 1500$,$1 \leq m \leq 5 \times 10^4$,$1 \leq u, v \leq n$,$-10^5 \leq w \leq 10^5$。

解题思路

这题可以用拓扑排序,从顶点1出发,依次记录刷新到i点的最长路径存入f[i]中,最后输出f[n]即可。
但需要注意,题目中并没有说只有1为入度为0的顶点,也就是说还有可能存在其它入度为0的顶点,如果把这些点也加入计算,可能导致错误结果,因为求的是从1到n的最长路径不是i到n。而如果不管这些顶点,又会影响拓扑过程,因为只有当一个顶点入度为0时才会加入队列,而如果一个入度为0的顶点 $i$ 指向另一个顶点 $x$ ,因为顶点 $i$ 在拓扑过程中无法到达,所以顶点 $x$ 就永远入度大于0,导致无法进入队列,相当于封死了这条路。
所以在拓扑前还需要把这些除1外的入度为0的顶点去除。

    //去除掉除了n以外的入度为0的点
    bool seenInd0[MAXN] = { false };        //已经去除的入度为0的顶点标记为true
    for (int idx = 2; idx <= n; idx++) {
        if (ind[idx] == 0&&seenInd0[idx]==false) {
            for (int j = 0; j < edges[idx].size(); j++) {
                int toP = edges[idx][j].first;        //到达的点
                ind[toP]--;
            }
            seenInd0[idx] = true;
            idx = 1;        //重新搜索,因为可能产生新的入度为0的点
        }
    }

完整代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>

using namespace std;

const int MAXN = 1505;

vector<pair<int,int> > edges[MAXN];        //存点idx能到达点first,权值为second
int ind[MAXN],f[MAXN];                    //入度,到当前点的最大权值和
queue<int> que;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    int n, m,tmp1,tmp2,tmp3;
    bool find = false;        //能到达n
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> tmp1 >> tmp2 >> tmp3;
        edges[tmp1].push_back(make_pair(tmp2, tmp3));
        ind[tmp2]++;
    }
    //去除掉除了n以外的入度为0的点
    bool seenInd0[MAXN] = { false };
    for (int idx = 2; idx <= n; idx++) {
        if (ind[idx] == 0&&seenInd0[idx]==false) {
            for (int j = 0; j < edges[idx].size(); j++) {
                int toP = edges[idx][j].first;        //到达的点
                ind[toP]--;
            }
            seenInd0[idx] = true;
            idx = 1;        //重新搜索,因为可能产生新的入度为0的点
        }
    }
    que.push(1);
    while (que.empty() == false) {
        int u = que.front();
        que.pop();
        for (int i = 0; i < edges[u].size(); i++) {
            int v = edges[u][i].first,power = edges[u][i].second;
            f[v] = max(f[v], f[u]+power);
            ind[v]--;
            if(ind[v]==0)que.push(v);
            if (v == n)find = true;            
        }
    }
    cout << (find? f[n]:-1);

    return 0;
}
本文作者:六月丶

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最后修改:2020 年 11 月 22 日 08 : 23 AM
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